Не так давно товарищ Makeman описывал , как с помощью спектрального анализа можно разложить некоторый звуковой сигнал на слагающие его ноты. Давайте немного абстрагируемся от звука и положим, что у нас есть некоторый оцифрованный сигнал, спектральный состав которого мы хотим определить, и достаточно точно.
Под катом краткий обзор метода выделения гармоник из произвольного сигнала с помощью цифрового гетеродинирования, и немного особой, Фурье-магии.
Итак, что имеем.
Файл с отсчетами оцифрованного сигнала. Известно, что сигнал представляет собой сумму синусоид со своими частотами, амплитудами и начальными фазами, и, возможно, белый шум.
Что будем делать.
Использовать спектральный анализ для того, чтобы определить:
Будем решать данную задачу на Java.
В инженерной практике разложение периодических функций в ряд Фурье широко используется, например, в задачах теории цепей: несинусоидальное входное воздействие раскладывают на сумму синусоидальных и рассчитывают необходимые параметры цепей, например, по методу наложения.
Существует несколько возможных вариантов записи коэффициентов ряда Фурье, нам же лишь необходимо знать суть.
Разложение в ряд Фурье позволяет разложить непрерывную функцию в сумму других непрерывных функций. И в общем случае, ряд будет иметь бесконечное количество членов.
Дальнейшим усовершенствованием подхода Фурье является интегральное преобразование его же имени. Преобразование Фурье
.
В отличие от ряда Фурье, преобразование Фурье раскладывает функцию не по дискретным частотам (набор частот ряда Фурье, по которым происходит разложение, вообще говоря, дискретный), а по непрерывным.
Давайте взглянем на то, как соотносятся коэффициенты ряда Фурье и результат преобразования Фурье, именуемый, собственно, спектром
.
Небольшое отступление: спектр преобразования Фурье - в общем случае, функция комплексная, описывающая комплексные амплитуды
соответствующих гармоник. Т.е., значения спектра - это комплексные числа, чьи модули являются амплитудами соответствующих частот, а аргументы - соответствующими начальными фазами. На практике, рассматривают отдельно амплитудный спектр
и фазовый спектр
.
Рис. 1. Соответствие ряда Фурье и преобразования Фурье на примере амплитудного спектра.
Легко видно, что коэффициенты ряда Фурье являются ни чем иным, как значениями преобразования Фурье в дискретные моменты времени.
Однако, преобразование Фурье сопоставляет непрерывной во времени, бесконечной функции другую, непрерывную по частоте, бесконечную функцию - спектр. Как быть, если у нас нет бесконечной во времени функции, а есть лишь какая-то записанная её дискретная во времени часть? Ответ на этот вопрос даёт дальнейшей развитие преобразования Фурье - дискретное преобразование Фурье (ДПФ) .
Дискретное преобразование Фурье призвано решить проблему необходимости непрерывности и бесконечности во времени сигнала. По сути, мы полагаем, что вырезали какую-то часть бесконечного сигнала, а всю остальную временную область считаем этот сигнал нулевым.
Математически это означает, что, имея исследуемую бесконечную во времени функцию f(t), мы умножаем ее на некоторую оконную функцию w(t), которая обращается в ноль везде, кроме интересующего нас интервала времени.
Если «выходом» классического преобразования Фурье является спектр – функция, то «выходом» дискретного преобразования Фурье является дискретный спектр. И на вход тоже подаются отсчёты дискретного сигнала.
Остальные свойства преобразования Фурье не изменяются: о них можно прочитать в соответствующей литературе.
Нам же нужно лишь знать о Фурье-образе синусоидального сигнала, который мы и будем стараться отыскать в нашем спектре. В общем случае, это пара дельта-функций, симметричная относительно нулевой частоты в частотной области.
Рис. 2. Амплитудный спектр синусоидального сигнала.
Я уже упомянул, что, вообще говоря, мы рассматриваем не исходную функцию, а некоторое её произведение с оконной функцией. Тогда, если спектр исходной функции - F(w), а оконной W(w), то спектром произведения будет такая неприятная операция, как свёртка этих двух спектров (F*W)(w) (Теорема о свёртке).
На практике это означает, что вместо дельта-функции, в спектре мы увидим что-то вроде этого:
Рис. 3. Эффект растекания спектра.
Этот эффект именуют также растеканием спектра
(англ. spectral leekage). А шумы, появляющиеся вследствие растекания спектра, соответственно, боковыми лепестками
(англ. sidelobes).
Для борьбы с боковыми лепестками применяют другие, непрямоугольные оконные функции. Основной характеристикой «эффективности» оконной функции является уровень боковых лепестков
(дБ). Сводная таблица уровней боковых лепестков для некоторых часто используемых оконных функций приведена ниже.
Основной проблемой в нашей задаче является то, что боковые лепестки могут маскировать другие гармоники, лежащие рядом.
Рис. 4. Отдельные спектры гармоник.
Видно, что при сложении приведённых спектров, более слабые гармоники как бы растворятся в более сильной.
Рис. 5. Чётко видна лишь одна гармоника. Нехорошо.
Другой подход к борьбе с растеканием спектра состоит в вычитании из сигнала гармоник, создающих это самое растекание.
То есть, установив амплитуду, частоту и начальную фазу гармоники, можно вычесть её из сигнала, при этом мы уберём и «дельта-функцию», соответствующую ей, а вместе с ней и боковые лепестки, порождаемые ей. Другой вопрос состоит в том, как же точно узнать параметры нужной гармоники. Недостаточно просто взять нужные данные из комплексной амплитуды. Комплексные амплитуды спектра сформированы по целым частотам, однако, ничто не мешает гармонике иметь и дробную частоту. В этом случае, комплексная амплитуда как бы расплывается между двумя соседними частотами, и точную её частоту, как и другие параметры, установить нельзя.
Для установления точной частоты и комплексной амплитуды нужной гармоники, мы воспользуемся приёмом, широко применяемым во многих отраслях инженерной практики – гетеродинирование .
Посмотрим, что получится, если умножить входной сигнал на комплексную гармонику Exp(I*w*t). Спектр сигнала сдвинется на величину w вправо.
Этим свойством мы и воспользуемся, сдвигая спектр нашего сигнала вправо, до тех пор, пока гармоника не станет ещё больше напоминать дельта-функцию (то есть, пока некоторое локальное отношение сигнал/шум не достигнет максимума). Тогда мы и сможем вычислить точную частоту нужной гармоники, как w 0 – w гет, и вычесть её из исходного сигнала для подавления эффекта растекания спектра.
Иллюстрация изменения спектра в зависимости от частоты гетеродина показана ниже.
Рис. 6. Вид амплитудного спектра в зависимости от частоты гетеродина.
Будем повторять описанные процедуры до тех пор, пока не вырежем все присутствующие гармоники, и спектр не будет напоминать нам спектр белого шума.
Затем, надо оценить СКО белого шума. Хитростей здесь нет: можно просто воспользоваться формулой для вычисления СКО:
1. Ищем глобальный пик амплитудного спектра, выше некоторого порога k.
1.1 Если не нашли, заканчиваем
2. Варируя частоту гетеродина, ищем такое значение частоты, при которой будет достигаться максимум некоторого локального отношения сигнал/шум в некоторой окрестности пика
3. При необходимости, округляем значения амплитуды и фазы.
4. Вычитаем из сигнала гармонику с найденной частотой, амплитудой и фазой за вычетом частоты гетеродина.
5. Переходим к пункту 1.
Алгоритм не сложный, и единственный возникающий вопрос - откуда же брать значения порога, выше которого будем искать гармоники?
Для ответа на этот вопрос, следует оценить уровень шума еще до вырезания гармоник.
Построим функцию распределения (привет, мат. cтатистика), где по оси абсцисс будет амплитуда гармоник, а по оси ординат - количество гармоник, не превышающих по амплитуде это самое значение аргумента. Пример такой построенной функции:
Рис. 7. Функция распределения гармоник.
Теперь построим еще и функцию - плотность распределения. Т.е., значения конечных разностей от функции распределения.
Рис. 8. Плотность функции распределения гармоник.
Абсцисса максимума плотности распределения и является амплитудой гармоники, встречающейся в спектре наибольшее число раз. Отойдем от пика вправо на некоторое расстояние, и будем считать абсциссу этой точки оценкой уровня шума в нашем спектре. Вот теперь можно и автоматизировать.
Посмотреть на кусок кода, детектирующий гармоники в составе сигнала
public ArrayList
Каждый сигнал имеет своё представление, свой образ в частотной области.
Этот образ называется СПЕКТРОМ сигнала. Слово спектр происходит от латинского spectrum, что в буквальном переводе и означает представление, образ.
Например, гармонический сигнал вида S(t) = A sin (ωt+φ) представляется в частотной области единственным значением на оси частот.
Рис 3. Спектр синусоидального сигнала.
В математике известна теорема, носящая имя великого французского математика Жана Фурье, согласно которой любой периодический сигнал с периодом T может быть представлен рядом Фурье (гармоническим рядом).
Другими словами можно сказать, любой, самый сложный периодический сигнал можно представить совокупностью простых гармонических сигналов.
Возьмём, например, последовательность прямоугольных импульсов, длительность которых равна половине периода (такой сигнал называется МЕАНДР), а частота равна 50Гц. (рис 4.) Форма этого сигнала не очень похожа на синусоиду, коротая показана ниже вместе со своим спектром. Далее, на рис. 4в. показана основная гармоника на частоте 50 Гц, синусоида с частотой в три раза большей (150 Гц). но меньшей амплитуды и результат сложения этих двух сигналов. Видим, он по форме уже напоминает прямоугольные импульсы. Далее, на рис 4г., к первой и третьей гармоникам добавлена пятая, на частоте 250 Гц. Результат их сложения ещё более похож на исходный сигнал и так далее, чем больше гармоник мы будем суммировать, тем большую степень приближения к прямоугольным импульсам мы получим.
Рис. 4.Спектральный состав последовательности прямоугольных импульсов.
Аналитическая запись рассмотренного разложения имеет вид:
Чем больше сигнал отличается от гармонического, тем больше частотных составляющих в его спектральном представлении и тем меньше расстояние (разнос частот) между ними, т.е. шире спектр такого сигнала. На рис.5.показана синусоида ограниченная сверху и снизу т.е. несколько искажённая, а на рис.6 показан её спектр. Видим, спектр имеет высшие гармоники различной амплитуды.
Таким образом, любое изменение формы сигнала неизбежно ведёт к изменению его спектра, и наоборот, любое изменение спектра сигнала приводит к изменению его спектра. Связь между временным и частотным представлением сигнала даёт теорема Фурье.
8. Преобразование Фурье. Прямое и обратное преобразование Фурье. Понятие амплитудного и фазового спектра сигнала.
Спектральный анализ - один из методов обработки сигналов, который позволяет охарактеризовать частотный состав измеряемого сигнала. Преобразование Фурье является математической основой, которая связывает временной или пространственный сигнал (или же некоторую модель этого сигнала) с его представлением в частотной области. Важную роль в спектральном анализе играют методы статистики, поскольку сигналы, как правило, имеют случайный характер или зашумлены при распространении или измерении. Если бы основные статистические характеристики сигнала были точно известны, или их можно было определить по конечному интервалу этого сигнала, то спектральный анализ представлял бы собой отрасль "точной науки". Однако, в действительности по отрезку сигнала можно получить только оценку его спектра. Поэтому практика спектрального анализа - некое ремесло (или искусство?) достаточно субъективного характера. Различие между спектральными оценками, получаемыми в результате обработки одного и того же отрезка сигнала разными методами, можно объяснить различием допущений, принятых относительно данных, различными способами усреднения и т.п. Если априори характеристики сигнала не известны, нельзя сказать какие из оценок лучше.
Преобразование Фурье - математическая основа спектрального анализа.
Пара преобразований Фурье. Спектральная плотность сигнала
Пусть сигнал s (t ) задан в виде непериодической функции, причем он существует только на интервале (t 1 ,t 2) (пример - одиночный импульс). Выберем произвольный отрезок времени T , включающий в себя интервал (t 1 ,t 2) (см. рис.1).
Обозначим периодический сигнал, полученный из s (t ), в виде s T (t ). Тогда для него можно записать ряд Фурье
где
Подставим выражение для в ряд:
Для
того, чтобы перейти к функции s
(t
)
следует в выражении s
T
(t
)
устремить период к бесконечности. При
этом число гармонических составляющих
с частотами
=n
2
/T
будет бесконечно велико, расстояние
между ними будет стремиться к нулю (к
бесконечно малой величине:
,
амплитуды составляющих также будут
бесконечно малы. Поэтому говорить о
спектре такого сигнала уже нельзя, т.к.
спектр становитсясплошным
.
При предельном переходе в случае Т , имеем:
Таким образом, в пределе получаем
Внутренний интеграл является функцией частоты. Его называют спектральной плотностью сигнала, или частотной характеристикой сигнала и обозначают ,
рямое
(*) и обратное (**) преобразования Фурье
вместе называют парой преобразований
Фурье. Модуль спектральной плотности
определяет
амплитудно-частотную характеристику
(АЧХ) сигнала, а ее аргумент
называют
фазо-частотной характеристикой (ФЧХ)
сигнала. АЧХ сигнала является четной
функцией, а ФЧХ - нечетной.
Смысл модуля S ( ) определяется как амплитуда сигнала (тока или напряжения), приходящаяся на 1 Гц в бесконечно узкой полосе частот, которая включает в себя рассматриваемую частоту . Его размерность - [сигнал/частота].
9. Свойства преобразования Фурье. Свойства линейности, изменения масштаба времени, другие. Теореме о спектре производной. Теорема о спектре интеграла.
10. Дискретное преобразование Фурье. Помехи радиоприёму. Классификация помех.
Дискретное преобразование Фурье может быть получено непосредственно из интегрального преобразования дискретизаций аргументов (t k = kt, f n = nf):
S(f) =s(t) exp(-j2ft) dt, S(f n) = ts(t k) exp(-j2f n kt), (6.1.1)
s(t) =S(f) exp(j2ft) df, s(t k) = fS(f n) exp(j2nft k). (6.1.2)
Напомним, что дискретизация функции по времени приводит к периодизации ее спектра, а дискретизация спектра по частоте - к периодизации функции. Не следует также забывать, что значения (6.1.1) числового ряда S(f n) являются дискретизаций непрерывной функции S"(f) спектра дискретной функции s(t k), равно как и значения (6.1.2) числового ряда s(t k) являются дискретизацией непрерывной функции s"(t), и при восстановлении этих непрерывных функций S"(f) и s"(t) по их дискретным отсчетам соответствие S"(f) = S(f) и s"(t) = s(t) гарантировано только при выполнении теоремы Котельникова-Шеннона.
Для дискретных преобразований s(kt) S(nf), и функция, и ее спектр дискретны и периодичны, а числовые массивы их представления соответствуют заданию на главных периодах Т = Nt (от 0 до Т или от -Т/2 до Т/2), и 2f N = Nf (от -f N до f N), где N – количество отсчетов, при этом:
f = 1/T = 1/(Nt), t = 1/2f N = 1/(Nf), tf = 1/N, N = 2Tf N . (6.1.3)
Соотношения (6.1.3) являются условиями информационной равноценности динамической и частотной форм представления дискретных сигналов. Другими словами: число отсчетов функции и ее спектра должны быть одинаковыми. Но каждый отсчет комплексного спектра представляется двумя вещественными числами и, соответственно, число отсчетов комплексного спектра в 2 раза больше отсчетов функции? Это так. Однако представление спектра в комплексной форме - не более чем удобное математическое представление спектральной функции, реальные отсчеты которой образуются сложением двух сопряженных комплексных отсчетов, а полная информация о спектре функции в комплексной форме заключена только в одной его половине - отсчетах действительной и мнимой части комплексных чисел в частотном интервале от 0 до f N , т.к. информация второй половины диапазона от 0 до -f N является сопряженной с первой половиной и никакой дополнительной информации не несет.
При дискретном представлении сигналов аргумент t k обычно проставляется номерами отсчетов k (по умолчанию t = 1, k = 0,1,…N-1), а преобразования Фурье выполняются по аргументу n (номер шага по частоте) на главных периодах. При значениях N, кратных 2:
S(f n) S n = s k exp(-j2kn/N), n = -N/2,…,0,…,N/2. (6.1.4)
s(t k) s k = (1/N)S n exp(j2kn/N), k = 0,1,…,N-1. (6.1.5)
Главный период спектра в (6.1.4) для циклических частот от -0.5 до 0.5, для угловых частот от - до . При нечетном значении N границы главного периода по частоте (значения f N) находятся на половину шага по частоте за отсчетами (N/2) и, соответственно, верхний предел суммирования в (6.1.5) устанавливается равным N/2.
В вычислительных операциях на ЭВМ для исключения отрицательных частотных аргументов (отрицательных значений номеров n) и использования идентичных алгоритмов прямого и обратного преобразования Фурье главный период спектра обычно принимается в интервале от 0 до 2f N (0 n N), а суммирование в (6.1.5) производится соответственно от 0 до N-1. При этом следует учитывать, что комплексно сопряженным отсчетам S n * интервала (-N,0) двустороннего спектра в интервале 0-2f N соответствуют отсчеты S N+1- n (т.е. сопряженными отсчетами в интервале 0-2f N являются отсчеты S n и S N+1- n).
Пример: На интервале Т= ,N=100, задан дискретный сигналs(k) =(k-i) - прямоугольный импульс с единичными значениями на точкахkот 3 до 8. Форма сигнала и модуль его спектра в главном частотном диапазоне, вычисленного по формулеS(n) =s(k)exp(-j2kn/100) с нумерацией поnот -50 до +50 с шагом по частоте, соответственно,=2/100, приведены на рис. 6.1.1.
Рис. 6.1.1. Дискретный сигнал и модуль его спектра.
На рис. 6.1.2 приведена огибающая значений другой формы представления главного диапазона спектра. Независимо от формы представления спектр периодичен, в чем нетрудно убедиться, если вычислить значения спектра для большего интервала аргумента nс сохранением того же шага по частоте, как это показано на рис. 6.1.3 для огибающей значений спектра.
Рис. 6.1.2. Модуль спектра. Рис. 6.1.3. Модуль спектра.
На рис. 6.1.4. показано обратное преобразование Фурье для дискретного спектра, выполненное по формуле s"(k) =(1/100)S(n)exp(j2kn/100), которое показывает периодизацию исходной функцииs(k), но главный периодk={0,99} этой функции полностью совпадает с исходным сигналомs(k).
Рис. 6.1.4. Обратное преобразование Фурье.
Преобразования (6.1.4-6.1.5) называют дискретными преобразованиями Фурье (ДПФ). Для ДПФ, в принципе, справедливы все свойства интегральных преобразований Фурье, однако при этом следует учитывать периодичность дискретных функций и спектров. Произведению спектров двух дискретных функций (при выполнении каких-либо операций при обработке сигналов в частотном представлении, как, например, фильтрации сигналов непосредственно в частотной форме) будет соответствовать свертка периодизированных функций во временном представлении (и наоборот). Такая свертка называется циклической (см. раздел 6.4) и ее результаты на концевых участках информационных интервалов могут существенно отличаться от свертки финитных дискретных функций (линейной свертки).
Из выражений ДПФ можно видеть, что для вычисления каждой гармоники нужно N операций комплексного умножения и сложения и соответственно N 2 операций на полное выполнение ДПФ. При больших объемах массивов данных это может приводить к существенным временным затратам. Ускорение вычислений достигается при использовании быстрого преобразования Фурье.
Помехами обычно называют посторонние электрические возмущения, накладывающиеся на передаваемый сигнал и затрудняющие его прием. При большой интенсивности помех прием становится практически невозможным.
Классификация помех:
а) помехи от соседних радиопередатчиков (станций);
б) помехи от промышленных установок;
в) атмосферные помехи (грозы, осадки);
г) помехи, обусловленные прохождением электромагнитных волн через слои атмосферы: тропосферу, ионосферу;
д) тепловые и дробовые шумы в элементах радиоцепей, обусловленные тепловым движением электронов.
Математически сигнал на входе приемника можно представить либо в виде суммы передаваемого сигнала и помехи, и тогда помеху называют аддитивной , либо простошумом , либо в виде произведения передаваемого сигнала и помехи, и тогда такую помеху называютмультипликативной . Эта помеха приводит к значительным изменениям интенсивности сигнала на входе приемника и объясняет такие явления какзамирания .
Наличие помех затрудняет прием сигналов при большой интенсивности помех, распознавание сигнала может стать практически невозможным. Способность системы противостоять мешающему воздействию помехи носит название помехоустойчивости .
Внешние естественные активные помехи представляют собой шумы, возникающие в результате радиоизлучения земной поверхности и космических объектов, работы других радиоэлектронных средств. Комплекс мероприятий, направленных на уменьшение влияния взаимных помех РЭС, называется электомагнитной совместимостью. Этот комплекс включает в себя как технические меры совершенствования радиоаппаратуры, выбор формы сигнала и способа его обработки, так и организационные меры: регламентация частоты, разнесение РЭС в пространстве, нормирование уровня внеполосных и побочных излучений и др.
11. Дискретизация непрерывных сигналов. Теорема Котельникова (отсчётов). Понятие частоты Найквиста. Понятие интервала дискретизации.
Дискретизация аналоговых сигналов. Ряд Котельникова
Всякое непрерывное сообщение s(t) , занимающее конечный интервал времени Т с , может быть передано с достаточной точностью конечным числом N отсчетов (выборок) s(nT) , т.е. последовательностью коротких импульсов, разделенных паузой.
Дискретизация сообщений по времени – процедура, состоящая в замене несчетного множества мгновенных значений сигнала их счетным (дискретным) множеством, которое содержит информацию о значениях непрерывного сигнала в определенные моменты времени.
При дискретном способе передачи непрерывного сообщения можно сократить время, в течение которого канал связи занят передачей этого сообщения, с Т с до , где- длительность импульса, применяемого для передачи выборки; можно осуществить одновременную передачу по каналу связи нескольких сообщений (временное уплотнение сигналов).
Наиболее простым является способ дискретизации, основанный на теореме В.А. Котельникова, сформулированной для сигналов с ограниченным спектром (теорема отсчетов):
если наивысшая частота в спектре функции s(t) меньше, чем F m , то функция s(t) полностью определяется последовательностью своих значений в моменты, отстоящие друг от друга не более, чем на секунд и может быть представлена рядом:
|
|
Здесь величина обозначает интервал между отсчетами на оси времени, а
Время выборки,
-
значение сигнала в момент отсчета.
Ряд (1) называется рядом Котельникова, а выборки (отсчеты) сигнала {s(nT) } иногда называют временным спектром сигнала.
обладает следующими свойствами:
а) в точке t=nT функция равна 1, т.к. в этой точке аргумент функции равен 0, а значение ее равно 1;
б) в точках t=kT , функция, т.к. аргумент синуса в этих точках равен, а сам синус равен нулю;
в)
спектральная плотность функции
u
n
(nT)
равномерна
в полосе частот
и
равна.
Этот вывод сделан на основе теоремы
взаимности частоты и времени пары
преобразований Фурье. ФЧХ спектральной
плотности линейна и равна
(в
соответствии с теоремой о сдвиге
сигнала). Таким образом,
.
Временное и частотное представления функции u n (t) даны на рис.3.
Графическая интерпретация ряда Котельникова представлена на рис.4.
Ряд Котельникова (1) обладает всеми свойствами обобщенного ряда Фурье с базисными функциями u n (nT) , и поэтому определяет функцию s(t) не только в точках отсчета, но и в любой момент времени.
Интервал ортогональности функции u n равен бесконечности. Квадрат нормы
Коэффициенты ряда, определяемые по общей формуле для ряда Фурье, равны (с использованием равенства Парсеваля):
следовательно
При ограничении спектра сигнала конечной наивысшей частотой ряд (1) сходится к функции s(t) при любом значении t .
Если взять интервал Т между выборками меньшим, чем , то ширина спектра базисной функции будет больше ширины спектра сигнала, следовательно точность воспроизведения сигнала будет выше, особенно в случаях когда спектр сигнала не ограничен по частоте и наивысшую частотуF m приходится выбирать из энергетических или информационных соображений, оставляя неучтенными “хвосты” спектра сигнала.
При увеличении расстояния между выборками () спектр базисной функции становится уже спектра сигнала, коэффициентыC n будут являться выборками другой функции s 1 (t) , спектр которой ограничен частотой .
Если длительность сигнала T c конечна, то полоса его частот равна строго бесконечности, т.к. условия конечных длительности и полосы несовместимы. Однако практически всегда можно выбрать наивысшую частоту так, чтобы “хвосты” содержали либо малую долю энергии, либо слабо влияли на форму аналогового сигнала. При таком допущении число отсчетов N на времени Т с будет равно Т с /Т , т.е. N=2F m T c . Ряд (1) в этом случае имеет пределы 0, N .
Число N иногда называют числом степеней свободы сигнала, или базой сигнала. С увеличением базы точность восстановления аналогового сигнала из дискретного увеличивается.
12. Временные и частотные характеристики линейных радиотехнических цепей. Понятие импульсной характеристики. Понятие переходной характеристики. Понятие входной и передаточной частотной характеристики.
При рассмотрении радиотехнических сигналов было установлено, что сигнал может быть представлен как во временной (динамическое представление), так и в частотной(спектральное представление) областях. Очевидно, при анализе процессов преобразования сигналов цепи также должны иметь соответствующие описания временными или частотными характеристиками.
Начнём
с рассмотрения временных характеристик
линейных цепей с постоянными параметрами.
Если линейная цепь осуществляет
преобразование в соответствии с
оператором
и
на вход цепи подаётся сигнал
в
виде дельта-функции (на практике очень
короткий импульс), то выходной сигнал
(реакция цепи)
называется импульсной характеристикой цепи. Импульсная характеристика составляет основу одного из методов анализа преобразования сигналов, который будет рассмотрен ниже.
Если на вход линейной цепи поступает сигнал , т.е. сигнал вида “единичный перепад”, то выходной сигнал цепи
называется переходной характеристикой .
Между импульсом и переходной характеристикой существует однозначная связь. Так как дельта-функция (см. подраздел 1.3):
,
то подставляя это выражение в (5.5), получим:
В свою очередь переходная характеристика
.
(5.8)
Перейдём к рассмотрению частотных характеристик линейных цепей. Применим к входному и выходномусигналам прямое преобразование Фурье
Отношение комплексного спектра выходного сигнала к комплексному спектру входного сигнала называется комплексным коэффициентом передачи
(5.9)
Из этого следует, что
Таким образом, оператором преобразования сигнала линейной цепью в частотной области служит комплексный коэффициент передачи.
Представим комплексный коэффициент передачи в виде
где исоответственно модуль и аргумент комплексной функции. Модуль комплексного коэффициента передачикак функция частоты называетсяамплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), а аргумент –фазочастотной характеристикой (ФЧХ). Амплитудно-частотная характеристика является чётной , а фазочастотная характеристика – нечётной функцией частоты .
Врменные и частотные характеристики линейных цепей связаны между собой преобразованием Фурье
что вполне объяснимо, поскольку они описывают один и тот же объект – линейную цепь.
13. Анализ воздействия детерминированных сигналов на линейные цепи с постоянными параметрами. Временной, частотный, операторный методы.
Не так давно товарищ , как с помощью спектрального анализа можно разложить некоторый звуковой сигнал на слагающие его ноты. Давайте немного абстрагируемся от звука и положим, что у нас есть некоторый оцифрованный сигнал, спектральный состав которого мы хотим определить, и достаточно точно.
Под катом краткий обзор метода выделения гармоник из произвольного сигнала с помощью цифрового гетеродинирования, и немного особой, Фурье-магии.
Итак, что имеем.
Файл с отсчетами оцифрованного сигнала. Известно, что сигнал представляет собой сумму синусоид со своими частотами, амплитудами и начальными фазами, и, возможно, белый шум.
Что будем делать.
Использовать спектральный анализ для того, чтобы определить:
Будем решать данную задачу на Java.
В инженерной практике разложение периодических функций в ряд Фурье широко используется, например, в задачах теории цепей: несинусоидальное входное воздействие раскладывают на сумму синусоидальных и рассчитывают необходимые параметры цепей, например, по методу наложения.
Существует несколько возможных вариантов записи коэффициентов ряда Фурье, нам же лишь необходимо знать суть.
Разложение в ряд Фурье позволяет разложить непрерывную функцию в сумму других непрерывных функций. И в общем случае, ряд будет иметь бесконечное количество членов.
Дальнейшим усовершенствованием подхода Фурье является интегральное преобразование его же имени. Преобразование Фурье
.
В отличие от ряда Фурье, преобразование Фурье раскладывает функцию не по дискретным частотам (набор частот ряда Фурье, по которым происходит разложение, вообще говоря, дискретный), а по непрерывным.
Давайте взглянем на то, как соотносятся коэффициенты ряда Фурье и результат преобразования Фурье, именуемый, собственно, спектром
.
Небольшое отступление: спектр преобразования Фурье - в общем случае, функция комплексная, описывающая комплексные амплитуды
соответствующих гармоник. Т.е., значения спектра - это комплексные числа, чьи модули являются амплитудами соответствующих частот, а аргументы - соответствующими начальными фазами. На практике, рассматривают отдельно амплитудный спектр
и фазовый спектр
.
Рис. 1. Соответствие ряда Фурье и преобразования Фурье на примере амплитудного спектра.
Легко видно, что коэффициенты ряда Фурье являются ни чем иным, как значениями преобразования Фурье в дискретные моменты времени.
Однако, преобразование Фурье сопоставляет непрерывной во времени, бесконечной функции другую, непрерывную по частоте, бесконечную функцию - спектр. Как быть, если у нас нет бесконечной во времени функции, а есть лишь какая-то записанная её дискретная во времени часть? Ответ на этот вопрос даёт дальнейшей развитие преобразования Фурье - дискретное преобразование Фурье (ДПФ) .
Дискретное преобразование Фурье призвано решить проблему необходимости непрерывности и бесконечности во времени сигнала. По сути, мы полагаем, что вырезали какую-то часть бесконечного сигнала, а всю остальную временную область считаем этот сигнал нулевым.
Математически это означает, что, имея исследуемую бесконечную во времени функцию f(t), мы умножаем ее на некоторую оконную функцию w(t), которая обращается в ноль везде, кроме интересующего нас интервала времени.
Если «выходом» классического преобразования Фурье является спектр – функция, то «выходом» дискретного преобразования Фурье является дискретный спектр. И на вход тоже подаются отсчёты дискретного сигнала.
Остальные свойства преобразования Фурье не изменяются: о них можно прочитать в соответствующей литературе.
Нам же нужно лишь знать о Фурье-образе синусоидального сигнала, который мы и будем стараться отыскать в нашем спектре. В общем случае, это пара дельта-функций, симметричная относительно нулевой частоты в частотной области.
Рис. 2. Амплитудный спектр синусоидального сигнала.
Я уже упомянул, что, вообще говоря, мы рассматриваем не исходную функцию, а некоторое её произведение с оконной функцией. Тогда, если спектр исходной функции - F(w), а оконной W(w), то спектром произведения будет такая неприятная операция, как свёртка этих двух спектров (F*W)(w) (Теорема о свёртке).
На практике это означает, что вместо дельта-функции, в спектре мы увидим что-то вроде этого:
Рис. 3. Эффект растекания спектра.
Этот эффект именуют также растеканием спектра
(англ. spectral leekage). А шумы, появляющиеся вследствие растекания спектра, соответственно, боковыми лепестками
(англ. sidelobes).
Для борьбы с боковыми лепестками применяют другие, непрямоугольные оконные функции. Основной характеристикой «эффективности» оконной функции является уровень боковых лепестков
(дБ). Сводная таблица уровней боковых лепестков для некоторых часто используемых оконных функций приведена ниже.
Основной проблемой в нашей задаче является то, что боковые лепестки могут маскировать другие гармоники, лежащие рядом.
Рис. 4. Отдельные спектры гармоник.
Видно, что при сложении приведённых спектров, более слабые гармоники как бы растворятся в более сильной.
Рис. 5. Чётко видна лишь одна гармоника. Нехорошо.
Другой подход к борьбе с растеканием спектра состоит в вычитании из сигнала гармоник, создающих это самое растекание.
То есть, установив амплитуду, частоту и начальную фазу гармоники, можно вычесть её из сигнала, при этом мы уберём и «дельта-функцию», соответствующую ей, а вместе с ней и боковые лепестки, порождаемые ей. Другой вопрос состоит в том, как же точно узнать параметры нужной гармоники. Недостаточно просто взять нужные данные из комплексной амплитуды. Комплексные амплитуды спектра сформированы по целым частотам, однако, ничто не мешает гармонике иметь и дробную частоту. В этом случае, комплексная амплитуда как бы расплывается между двумя соседними частотами, и точную её частоту, как и другие параметры, установить нельзя.
Для установления точной частоты и комплексной амплитуды нужной гармоники, мы воспользуемся приёмом, широко применяемым во многих отраслях инженерной практики – гетеродинирование .
Посмотрим, что получится, если умножить входной сигнал на комплексную гармонику Exp(I*w*t). Спектр сигнала сдвинется на величину w вправо.
Этим свойством мы и воспользуемся, сдвигая спектр нашего сигнала вправо, до тех пор, пока гармоника не станет ещё больше напоминать дельта-функцию (то есть, пока некоторое локальное отношение сигнал/шум не достигнет максимума). Тогда мы и сможем вычислить точную частоту нужной гармоники, как w 0 – w гет, и вычесть её из исходного сигнала для подавления эффекта растекания спектра.
Иллюстрация изменения спектра в зависимости от частоты гетеродина показана ниже.
Рис. 6. Вид амплитудного спектра в зависимости от частоты гетеродина.
Будем повторять описанные процедуры до тех пор, пока не вырежем все присутствующие гармоники, и спектр не будет напоминать нам спектр белого шума.
Затем, надо оценить СКО белого шума. Хитростей здесь нет: можно просто воспользоваться формулой для вычисления СКО:
1. Ищем глобальный пик амплитудного спектра, выше некоторого порога k.
1.1 Если не нашли, заканчиваем
2. Варируя частоту гетеродина, ищем такое значение частоты, при которой будет достигаться максимум некоторого локального отношения сигнал/шум в некоторой окрестности пика
3. При необходимости, округляем значения амплитуды и фазы.
4. Вычитаем из сигнала гармонику с найденной частотой, амплитудой и фазой за вычетом частоты гетеродина.
5. Переходим к пункту 1.
Алгоритм не сложный, и единственный возникающий вопрос - откуда же брать значения порога, выше которого будем искать гармоники?
Для ответа на этот вопрос, следует оценить уровень шума еще до вырезания гармоник.
Построим функцию распределения (привет, мат. cтатистика), где по оси абсцисс будет амплитуда гармоник, а по оси ординат - количество гармоник, не превышающих по амплитуде это самое значение аргумента. Пример такой построенной функции:
Рис. 7. Функция распределения гармоник.
Теперь построим еще и функцию - плотность распределения. Т.е., значения конечных разностей от функции распределения.
Рис. 8. Плотность функции распределения гармоник.
Абсцисса максимума плотности распределения и является амплитудой гармоники, встречающейся в спектре наибольшее число раз. Отойдем от пика вправо на некоторое расстояние, и будем считать абсциссу этой точки оценкой уровня шума в нашем спектре. Вот теперь можно и автоматизировать.
Посмотреть на кусок кода, детектирующий гармоники в составе сигнала
public ArrayList
В данном разделе мы рассмотрим спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов, как одного из важнейших сигналов, используемого в практических приложениях.
Пусть входной сигнал представляет собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов амплитуды , длительности секунд следующих с периодом секунд, как это показано на рисунке 1
Рисунок 1. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов
Единица измерения амплитуды сигнала зависит от физического процесса, который описывает сигнал . Это может быть напряжение, или, сила тока, или любая другая физическая величина со своей единицей измерения, которая меняется во времени как . При этом, единицы измерения амплитуд спектра , , будут совпадать с единицами измерения амплитуды исходного сигнала.
Тогда спектр , , данного сигнала может быть представлен как:
.
Рассмотрим некоторые свойства огибающей спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов.
Постоянная составляющая огибающей может быть получена как предел:
Для раскрытия неопределенности воспользуемся правилом Лопиталя :
Где называется скважностью импульсов и задает отношение периода повторения импульсов к длительности одиночного импульса.
Таким образом, значение огибающей на нулевой частоте равно амплитуде импульса деленной на скважность. При увеличении скважности (т.е. при уменьшении длительности импульса при фиксированном периоде повторения) значение огибающей на нулевой частоте уменьшается.
Используя скважность импульсов выражение (1) можно переписать в виде:
Нули огибающей спектра последовательности прямоугольных импульсов можно получить из уравнения:
Знаменатель обращается в ноль только при , однако, как мы выяснили выше
, тогда решением уравнения будет
Тогда огибающая обращается в ноль если
На рисунке 2 показана огибающая спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов (пунктирная линия) и частотные соотношения огибающей и дискретного спектра .
Рисунок 2. Cпектр периодической последовательности прямоугольных импульсов
Также показаны амплитудная огибающая , амплитудный спектр , а также фазовая огибающая и фазовый спектр .Из рисунка 2 можно заметить, что фазовый спектр принимает значения когда огибающая имеет отрицательные значения. Заметим, что и соответствуют одной и той же точке комплексной плоскости равной .
Пусть входной сигнал представляет собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов амплитуды , следующих с периодом секунды и различной скважностью . На рисунке 3а показаны временные осциллограммы указанных сигналов, их амплитудные спектры (рисунок 3б), а также непрерывные огибающие спектров (пунктирная линия).
Рисунок 3. Cпектр периодической последовательности
прямоугольных импульсов при различном значении скважности
а — временные осциллограммы; б — амплитудный спектр
Как можно видеть из рисунка 3, при увеличении скважности сигнала, длительность импульсов уменьшается, огибающая спектра расширяется и уменьшается по амплитуде (пунктирная линия). В результате, в пределах главного лепестка увеличивается количество гармоник спектра .
Выше мы подробно изучили спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов для случая, когда исходный сигнал являлся симметричным относительно . В результате спектр такого сигнала является вещественным и задается выражением (1). Теперь мы рассмотрим, что произойдет со спектром сигнала если мы сместим сигнал во времени,как это показано на рисунке 4 .
Рисунок 4. Сдвинутая во времени периодическая последовательность прямоугольных импульсов
Смещенный сигнал можно представить как сигнал ,
задержанный на половину длительности импульса
.
Спектр смещенного сигнала можно представить
согласно свойству
циклического временного сдвига
как:
Таким образом, спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов, смещенной относительно нуля, не
является чисто вещественной функцией, а приобретает дополнительный фазовый множитель
.
Амплитудный и фазовый
спектры показаны на рисунке 5.
Рисунок 5. Амплитудный и фазовый спектры сдвинутой во времени периодической последовательности прямоугольных импульсов
Из рисунка 5 следует, что сдвиг периодического сигнала во времени не изменяет амплитудный спектр сигнала, но добавляет линейную составляющую к фазовому спектру сигнала.
В данном разделе мы получили аналитическое выражение для спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов.
Мы рассмотрели свойства огибающей спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов и привели примеры спектров при различном значении скважности.
Также был рассмотрен спектр при смещении во времени последовательности прямоугольных импульсов и показано, что смещение во времени изменяет фазовый спектр и не влияет на амплитудный спектр сигнала.
Москва, Советское радио, 1977, 608 c.Дёч, Г. Руководство по практическому применению преобразования Лапласа. Москва, Наука, 1965, 288 c.
Сигнал называется периодическим , если его форма циклически повторяется во времени. Периодический сигнал в общем виде записывается так:
Здесь - период сигнала. Периодические сигналы могут быть как простыми, так и сложными.
Для математического представления периодических сигналов с периодом часто пользуются этим рядом, в котором как базисные функции выбираются гармонические (синусоидальные и косинусоидальные) колебания кратных частот:
где . - основная угловая частота последовательности функций. При гармонических базисных функциях из этого ряда получим ряд Фурье, который в простейшем случае можно записать в следующем виде:
где коэффициенты
Из ряда Фурье видно, что в общем случае периодический сигнал содержит постоянную составляющую и набор гармонических колебаний основной частоты и ее гармоник с частотами . Каждое гармоническое колебание ряда Фурье характеризуется амплитудой и начальной фазой .
Спектральная диаграмма и спектр периодического сигнала .
Если какой - либо сигнал представлен в виде суммы гармонических колебаний с разными частотами, то это означает, что было осуществлено спектральное разложение сигнала.
Спектральной диаграммой сигнала называется графическое изображение коэффициентов ряда Фурье этого сигнала. Существуют амплитудные и фазовые диаграммы. Для построения этих диаграмм, в некотором масштабе по горизонтальной оси откладываются значения частот гармоник, а по вертикальной оси - их амплитуды и фазы . Причем амплитуды гармоник могут принимать только положительные значения, фазы - как положительные, так и отрицательные значения в интервале .
Спектральные диаграммы периодического сигнала:
а) - амплитудная; б) - фазовая.
Спектр сигнала - это совокупность гармонических составляющих с конкретными значениями частот, амплитуд и начальных фаз, образующих в сумме сигнал. На практике спектральные диаграммы называются более кратко - амплитудный спектр , фазовый спектр . Наибольший интерес проявляют к амплитудной спектральной диаграмме. По ней можно оценить процентное содержание гармоник в спектре.
Спектральные характеристики в технике электросвязи играют большую роль. Зная спектр сигнала можно правильно рассчитать и установить полосу пропускания усилителей, фильтров, кабелей и других узлов каналов связи. Знание спектров сигналов необходимо для построения многоканальных систем с частотным разделением каналов. Без знания спектра помехи трудно принять меры для ее подавления.
Из этого можно сделать вывод, что спектр надо знать для осуществления неискаженной передачи сигнала по каналу связи, для обеспечения разделения сигналов и ослабления помех.
Для наблюдения за спектрами сигналов существует приборы, которые называются анализаторами спектра . Они позволяют наблюдать и измерять параметры отдельных составляющих спектра периодического сигнала, а также измерять спектральную плотность непрерывного сигнала.
.
